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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
b) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$
b) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$
Respuesta
En este caso vamos a aplicar el Criterio de Cauchy:
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$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n^2}} $
Simplificamos y nos queda:
$ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} $
Estamos frente a una indeterminación de tipo $1$ elevado a $\infty$. La savalmos de la misma manera que lo hacíamos en sucesiones y deberías llegar a:
$ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} = e^{-1} < 1$
Por lo tanto, como el resultado del límite nos dio $< 1$, Cauchy nos asegura que esta serie converge.
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